數(shù)量備考技巧——異點(diǎn)出發(fā)直線迎面多次相遇問題
異點(diǎn)出發(fā)直線迎面多次相遇問題在國考行測中會經(jīng)常遇到,而且出題的角度也越來越多,對于這類問題關(guān)鍵是要了解直線多次相遇的模型,在理解的基礎(chǔ)上,解決這類問題將變得相對簡單。首先了解一下直線多次相遇問題的模型。
如圖所示,A、B兩地相距S,甲、乙兩人分別兩地同時(shí)出發(fā),速度分別為V甲和V乙,經(jīng)過一段時(shí)間后兩者第一次相遇,則甲乙兩人第一次相遇時(shí),兩者的路程和為S;然后繼續(xù)向前走,到達(dá)目的地后立即返回,則從第一次相遇到第二次相遇時(shí),兩人路程和為2S,前兩次相遇總共走的路程為3S,以此類推,可以發(fā)現(xiàn)相遇n次,兩人共同走的總路程為(2n-1)S。即(2n-1)s=(V甲+V乙)t。因此可以得到結(jié)論:
①直線迎面多次相遇問題,相遇n次,共同走過的路程為(2n-1)S;
②第n-1次相遇到第n次相遇路程和為2S(n≥2);
③相遇n次所走的路程和與第一次相遇所走的路程和之比=(2n-1):1;
④相遇n次所用的時(shí)間與第一次相遇所用的時(shí)間之比=(2n-1):1;
⑤相遇n次甲(乙)單獨(dú)所走的總路程與第一次相遇甲(乙)單獨(dú)所走的路程之比=(2n-1):1。
考點(diǎn)一:求相遇時(shí)間
【例1】某高校兩校區(qū)相距 2760 米,甲,乙兩同學(xué)從各自校區(qū)同時(shí)出發(fā)到對方校區(qū),甲的速度為 70 米每分鐘,乙的速度為 110 米每分鐘,在路上二人第一次相遇后繼續(xù)行進(jìn),到達(dá)對方校區(qū)后馬上回返,那么兩人從出發(fā)到第二次相遇需要多少分鐘?( )
A.32 B.46
C.61 D.64
【解析】本題考查行程問題,屬于相遇追及類。設(shè)第二次相遇需要t分鐘,根據(jù)“甲、乙兩人從兩端出發(fā)往返多次相遇”,可得3×2760=(70+110)t,解得t=46。因此,選擇B選項(xiàng)。
考點(diǎn)二:求相遇次數(shù)
【例2】在一次航海模型展示活動中,甲乙兩款模型在長100米的水池兩邊同時(shí)開始相向勻速航行,甲款模型航行100米要72秒,乙款模型航行100米要60秒,若調(diào)頭轉(zhuǎn)身時(shí)間略去不計(jì),在12分鐘內(nèi)甲乙兩款模型相遇次數(shù):
A.9 B.10
C.11 D.12
考點(diǎn)三:求全程距離
【例3】貨車A由甲城開往乙城貨車B由乙城開往甲城它們同時(shí)出發(fā)并以各自恒定的速度行駛在途中第一次相遇時(shí)它們離甲城為35千米。相遇后兩車?yán)^續(xù)以原來的速度行駛至目的地城市后立即折返途中再一次相遇這時(shí)它們離乙城為25千米。則甲乙兩城相距( )千米。
A.80 B.85
C.90 D.95
【解析】本題考查行程問題,屬于相遇追及類。已知第一次相遇時(shí),甲共走35千米,前兩次相遇甲總共走的路程為S+25,則相遇2次甲所走的總路程與第一次相遇甲所走的路程之比=3:1。即(S+25)∶35=3∶1,解得S=80。因此,選擇A選項(xiàng)。
【例4】AB兩點(diǎn)間有一條直線跑道,甲從A點(diǎn)出發(fā),乙從B點(diǎn)出發(fā),兩人同時(shí)開始勻速在兩點(diǎn)之間往返跑步。第1次迎面相遇時(shí)離A點(diǎn)1000米,第三次迎面相遇時(shí)離B點(diǎn)200米,此時(shí)甲到達(dá)B點(diǎn)2次,乙到達(dá)A點(diǎn)1次,問AB兩點(diǎn)間跑道的長度是多少米?
A.1400 B.1500
C.1600 D.1700
【解析】本題考查行程問題,用比例法解題。第一次迎面相遇兩人共走1個(gè)全程,第三次迎面相遇兩人共走5個(gè)全程,那么兩次相遇甲走過的路程之比為1∶5。設(shè)全程為s米,甲到達(dá)B點(diǎn)2次,則甲第三次相遇時(shí)跑的距離為3S+200米,有1000∶(3s+200)=1∶5,解得s=1600。因此,選擇C選項(xiàng)。
【例5】丙地為甲、乙兩地之間高速公路上的一個(gè)測速點(diǎn),其與甲地之間的距離是與乙地之間距離的一半,A、B兩車分別從甲地和乙地同時(shí)出發(fā)勻速相向而行,第一次迎面相遇的位置距離丙地500米,兩車到達(dá)對方出發(fā)地后立刻原路返回,第二次兩車相遇也為迎面相遇,問第二次相遇的位置一定:
A. 距離甲地1500米 B. 距離乙地1500米
C. 距離丙地1500米 D. 距離乙、丙中點(diǎn)1500米
【解析】本題考查行程問題。設(shè)甲丙的距離為x米,那么乙丙的距離為2x米,第二次仍為迎面相遇,故兩車速度比不能超過2∶1,那么第一次相遇A車走了(x+500)米,根據(jù)兩端出發(fā)多次相遇問題公式,第二次相遇走的路程是第一次的3倍,故第二次相遇時(shí)A車共走了3×(x+500)=3x+1500(米),3x是甲乙的全程,故A車走了從甲到乙的全程后又走了1500米,即距離乙地1500米。因此,選擇B選項(xiàng)。
對于異點(diǎn)出發(fā)多次相遇問題,只要各位考生能夠掌握公式及相關(guān)的結(jié)論,多加練習(xí),就能夠解決這類題目。
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