一、中國剩余定理的由來
我國古代數學名著《孫子算經》中,記載這樣一個問題: “今有物不知其數,三三數之剩二,五五數之剩三,七七數之剩二,問物幾何。”用現在的話來說就是:“有一批物品,3個3個地數余2個,5個5個地數余3個,7個7個地數余2個,問這批物品最少有多少個?” 這個問題的解題思路,被稱為“孫子問題”、“鬼谷算”、“隔墻算”、“韓信點兵”等等。
二、“中國剩余定理”算理及其應用
明朝數學家程大位把這一解法編成四句歌訣:
三人同行七十(70)稀,五樹梅花廿一(21)枝,
七子團圓正月半(15),除百零五(105)便得知。
歌訣中每一句話都是一步解法:第一句指除以3的余數用70去乘;第二句指除以5的余數用21去乘;第三句指除以7的余數用15去乘;第四句指上面乘得的三個積相加的和如超過105,就減去105的倍數,就得到答案了。即:70×2+21×3+15×2-105×2=23
為什么這樣解呢?因為70是5和7的公倍數,且除以3余1。21是3和7的公倍數,且除以5余1。15是3和5的公倍數,且除以7余1。(任何一個一次同余式組,只要根據這個規(guī)律求出那幾個關鍵數字,那么這個一次同余式組就不難解出了。)把70、21、15這三個數分別乘以它們的余數,再把三個積加起來是233,符合題意,但不是最小,而105又是3、5、7的最小公倍數,去掉105的倍數,剩下的差就是最小的一個答案。
三、“中國剩余定理”的應用
主要是是針對那些我們學的口訣“公倍數做周期:余同取余,和同加和,差同減差”以外的余數問題的題目。
例1、一個數被3除余1,被4除余2,被5除余4,這個數最小是幾?
A、81 B、34 C、128 D、103
【答案】B 解析:本題屬于余數問題。題中3、4、5三個數兩兩互質。則〔4,5〕=20;〔3,5〕=15;〔3,4〕=12;〔3,4,5〕=60。
為了使20被3除余1,用20×2=40;
使15被4除余1,用15×3=45;
使12被5除余1,用12×3=36。
然后,40×1+45×2+36×4=274。
因為,274>60,所以,274-60×4=34,就是所求的數。所以選擇B選項
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